Matrices
Cette fiche présente les fonctions utilisées par Up ! Mathematical pour les matrices. Une matrice est basée sur un corps.
La représentation d'une matrice de n lignes à m colonnes est :
Nous considérons que les matrices carrées de taille n*n forment un corps puisque celles non inversibles sont en quantité négligeable par rapport à celle inversibles et cela d'après le corollaire de la mesure de Lebesgue.
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à m-1.
Fonctions arithmétiques
Addition
Pour tous couples de nombres matrice A et B de même taille n*m, la définition de l'addition est :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à m-1.
Soustraction
Pour tous couples de nombres matrice A et B de même taille n*m, la définition de la soustraction est :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à m-1.
Multiplication
Pour tous couples de nombres matrice A et B de taille n*m et m*p, la définition de la soustraction est :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à p-1.
Division
La matrice carrée A de taille n*n est dite inversible s'il existe une matrice B telle que :
La matrice B est alors notée :
Matrices remarquables
Matrice nulle
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice nulle si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1.
Elle est notée O.
Matrice identité
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice identité si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1 avec i égal j.
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1 avec i différent de j.
Elle est notée I.
Matrice diagonale
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice diagonale si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1 avec i différent de j.
Matrice triangulaire supérieure
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice triangulaire supérieure si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1 avec i supérieur à j.
Matrice triangulaire inférieure
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice triangulaire inférieure si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1 avec j supérieur à i.
Matrice symétrique
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice symétrique si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1.
Matrice anti-symétrique
La matrice carrée A de taille n*n est dite matrice anti-symétrique si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1.
Matrice transposée
La matrice B de taille m*n est la tranposée de la matrice A de taille n*m si :
Pour i variant de 0 à n-1 et j variant de 0 à n-1.
Transformation d'une matrice
Décomposition PLDU
Toute matrice carrée inversible M de taille n*n est le produit de quatre matrices carrées P, L, D et U de taille n*n où :
- P est une matrice de permutations de lignes et de colonnes.
- L est une matrice de transformation triangulaire inférieure dont la diagonale est unitaire.
- D est une matrice de diagonale.
- U est une matrice de transformation triangulaire supérieure dont la diagonale est unitaire.
La matrice U est calculée incrémentalement par élimination des éléments inférieurs de façon analogue au pivot de Gauss.
A chaque itération, le plus grand pivot est retenu, de la sorte à minimiser les erreurs de calculs, d'où les permutations conservées dans P.
A chaque itération, les pivots sont conservés dans la matrice L.
A chaque itération, si U n'est pas diagonale, alors la ligne est normalisée et la norme est conservees dans la matrice D.
Décomposition QR
Toute matrice carrée inversible M de taille n*n est le produit de deux matrices carrées Q et R de taille n*n où :
- Q est une matrice orthogonale.
- R est une matrice de transformation triangulaire inférieure dont la diagonale est unitaire.
La matrice Q est calculée incrémentalement par projection de la colonne k sur les projections calculées précédemment - Par défaut la première colonne.
L'inverse d'une matrice orthogonale étant sa transposée, la matrice R est obtenue par :
Polynôme de matrices
Nous définissons un polynôme de matrices de façon analogues à un pôlynome de réels ou de complexes :
Les notions de continuité, de dérivée, d'intégrale et de limite sont aussi analogue.
Le corollaire est quand, pour une fonction F(Z) sur un complexe, il existe un développement polynomial P(Z),
alors il existe le même développement polynomial P(M) pour la fonction F(M).